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  • Prolongement d'une fonction uniformément continue

    Formulaire de report

    Prolongement d'une fonction uniformément continue définie sur une partie dense :
    • \((X,d_X)\) est un espace métrique
    • \((Y,d_Y)\) est un espace métrique complet
    • \(A\subset X\) est une partie dense
    • \(f:A\to Y\) est uniformément continue
    • le Module de continuité uniforme \(\omega\) de \(f\) est supposé croissant et continu

    $$\Huge\iff$$
    • il existe une unique fonction \(F:X\to Y\) continue tq \(F_{\rvert A}=f\)
    • \(\omega\) est module de continuité uniforme de \(F\)
    Démonstration du théorème de prolongement d'une fonction uniformément continue.

    Pour un point de \(X\) donné, on prend une suite d'éléments de \(A\) qui converge vers ce point.

    Puisque cette suite est supposée convergente, elle est de Cauchy.

    Par continuité uniforme, les images de la suite par \(f\) forment une suite de Cauchy, qui converge dans \(Y\) complet.

    On montre en utilisant le module de continuité uniforme de \(f\) que cette limite ne dépend pas de la suite choisie.

    On peut alors étendre \(f\) via les limitesd'images.

    On peut utiliser \(\omega\) pour montrer que la fonction ainsi formée est bien continue.


    Prolongement d'une fonction uniformément continue définie sur une partie non dense :
    • \((X,d)\) est un espace métrique borné
    • \(A\subset X\), \(A\ne\varnothing\)
    • \(f:A\to{\Bbb R}\) est uniformément continue
    • le module de continuité uniforme \(\omega\) de \(f\) est supposé croissant et sous-additif

    $$\Huge\iff$$
    • \(\displaystyle F:x\mapsto\inf_{y\in A} f(y)+\omega(d(x,y))\) est uniformément continue
    • \(F_{\lvert A}=f\)
    • le module de continuité uniforme de \(F\) est \(\omega\)
    Démontrer le théorème de prolongement d'une fonction uniformément continue définie sur une partie non dense.

    \(f\) est uniformément continue sur un domaine borné, donc elle est bornée, ce qui montree que \(F\) est bornée.

    On montre qu'on a \(\forall x\in A,f(x)\leqslant F(x)\).

    On utilise les propriétés de \(\omega\) pour avoir \(F(x)\leqslant\omega(d(x,z))+F(z)\) et son inéquation symétrique, ce qui montre que \(\omega\) est module de continuité uniforme de \(F\).



    Question de cours

    START
    Ω Basique (+inversé optionnel)
    Recto: Pourquoi l'hypothèse de Continuité uniforme est-elle importante dans le théorème de prolongement ?
    Verso: Elle permet de garantir que le prolongement choisi (via une limite) ne dépend pas de la suite de Cauchy choisie.
    Bonus:
    Carte inversée ?:
    END

  • Rétroliens :
    • Plongement de Kuratowski
    • Théorème d'Ascoli
    • Théorème de Banach-Alaoglu